متوازي الأضلاع

خواصّ متوازي الأضلاع والأشكال المشتقة منه وأهم تطبيقاته في حياتنا
الكاتب:بشار رمضان
تاريخ النشر: 10/11/2017
آخر تحديث: 10/11/2017
متوازي الأضلاع

يعد متوازي الأضلاع من الأشكال الأكثر شهرة في الهندسة، وذلك لأن معظم الأشكال المضلعة ذات الأضلاع الأربعة مشتقة من متوازي الأضلاع.

من منّا لم يسمع بمتوازي الأضلاع؛ فهو من الأشكال الهندسية الأكثر شهرة إضافةً إلى المثلث، فمن متوازي الأضلاع يمكننا الوصول إلى المستطيل والمربع والمعين.

وهي الأشكال التي تعتبر حالات خاصّة من متوازي الأضلاع، في هذا المثال سنتعرف على متوازي الأضلاع وأهم خصائصه الهندسية، وكيف يمكننا الوصول إلى الأشكال الأخرى من خلاله.

1

متوازي الأضلاع (Parallelogram)

يعرَّف متوازي الأضلاع أنه شكل رباعي الأضلاع (ورباعي الزوايا) فيه كل ضلعين متقابلين متوازيين ومتساويين في الطول، ومجموع قياسات زواياه الأربع مساوٍ 360 درجة.

يمكن أن نلاحظ في الشكل المجاور (الصورة) (ABCD) أن الضلعين AB و DC هما ضلعان متقابلان ومتوازيان، أيضاً الحال بالنسبة للضلعين AD و BC، وبذلك يكون الشكل الرباعي متوازي أضلاع.

ونعرّف القطر في الشكل المضلع على أنه القطعة المستقيمة التي تصل بين زاويتين غير متتاليين في الشكل؛ وفي حالة متوازي الأضلاع القطران هما AC و BD.

شكل متوازي الأضلاع

2

الخصائص الأساسية لمتوازي الأضلاع

في بعض الحالات قد يُطلب إثبات أن الشكل الرباعي هو متوازي أضلاع، وللقيام بذلك يكفي إثبات واحدة من خصائصه التالية لنتأكد أن الشكل هو بالفعل متوازي أضلاع.

  1. كل ضلعين متقابلين متوازيين: وهي بالطبع تكفي كونها الحالة المذكورة في التعريف للشكل.
  2. كل ضلعين متقابلين متساويين في الطول.
  3. كل زاويتين متقابلتين متساويتين بالقياس، فالزاويتان A و C متساويتان، كذلك الزاويتان B و D.
  4. مجموع قياس كل زاويتين متعاقبتين يساوي 180 درجة، مثل الزاويتين A+B=180 وأيضاً B+C=180، وهكذا.
  5. يتقاطع قطرا متوازي الأضلاع في نقطة، تسمى هذه النقطة بمركز تناظر متوازي الأضلاع، وهي النقطة E على الرسم السابق.
  6. أي مستقيم يمر من مركز تناظر متوازي الأضلاع يقسمه إلى شكلين متطابقين، فمثلاً القطر AC يقسم المتوازي إلى مثلثين متطابقين في قياسات الزوايا وأطوال الأضلاع، وهما المثلث ACD والمثلث ACB.
  7. قطرا متوازي الأضلاع متناصفان، أي أن نقطة تقاطع القطرين (E) تقسم كل قطر من القطرين إلى قطعتين متساويتين في الطول، ففي الشكل السابق نجد أن القطر BD مقسوم في منتصفه عند النقطة E حيث يكون AE=EC.
3

متوازي الأضلاع من الأشكال الهندسية ثنائية البعد

من المعروف أن متوازي الأضلاع من الأشكال الهندسية ثنائية البعد، أي أنها تمتلك طولاً وعرضاً فقط ولا تمتلك عمق وهو الذي يبداً بالظهور في الأشكال ثلاثية الأبعاد (الأشكال التي لها طول وعرض وارتفاع).

بمعنى آخر لا يمكن تمثيل متوازي الأضلاع إلا على مستوٍ ثنائي البعد مثل الورقة أو الجدار، نرمز للبعدين بالرموز a للطول، وb للعرض.

بالعودة للمحيط (نرمز له بالحرف P)، إذ يمكن تعريفه في المضلعات على أنه مجموع أطوال أضلاع الشكل، وفي حالة متوازي الأضلاع هو مجموع أطوال أضلاعه الأربعة.

لكن بحسب خواص متوازي الأضلاع فكل ضلعين متقابلين متساويين بالطول، وبذلك نكتب بالقانون:

P =a+b+a+b

إذا يمكن القول:

P =2a+2b

وبالتالي يكون محيط متوازي الأضلاع مساويا ل:

P =2(a+b)

بالتالي يمكن تعريف محيط متوازي الأضلاع أنه مساوٍ لضعفي مجموع الطول والعرض، أي نقوم بجمع الطول والعرض، ثم نضرب بـ 2 لنحصل على المحيط.

4

طرق حساب مساحة متوازي الأضلاع

المساحة هي أيضاً من الخواص للأشكال الهندسية ذات البعدين، يمكن تعريفها بشكل عام أنها قياس المنطقة المحددة بمحيط الشكل الهندسي، مثل مساحة الأرض أو الجدار أو الشاشة التي تقرأ عليها هذا المقال.

ويمكن حساب مساحة متوازي الأضلاع (S) بطريقتين:

  • القاعدة والارتفاع: هي أبسط الطرق من خلال معرفة طول الارتفاع والقاعدة؛ حيث أن الارتفاع (h) هو أي قطعة مستقيمة مرسومة من أي رأس من رؤوس متوازي الأضلاع بشكل عمودي على الضلع المقابل.

والذي يسمى بالقاعدة (b)، ومن ثم نقوم بجداء الطولين وفق القانون:

S=h×b

  • البعدين وجيب الزاوية: يمكن أيضاً حساب المساحة من خلال معرفة بعدي متوازي الأضلاع (الطول والعرض a,b) وهما بكل تأكيد سيكونان متجاورين.

أيضاً نحتاج لمعرفة قياس الزاوية المحصورة بينهما والذي سنرمز له بالرمز (x)، بعدها نقوم بتطبيق القانون التالي:

S=a * b * sin⁡(x)

أي أن المساحة تساوي جداء طولي البعدين بجيب الزاوية المحصورة بينهما.

5

انتقال متوازي الأضلاع إلى أشكال هندسية أخرى

يمكن الانتقال هندسياً من متوازي الأضلاع إلى عدّة أشكال أخرى عن طريق حالات خاصة تحصل على خواصه، ومنها:

1. المعيّن

صورة للمعين

يمكن الحصول على المعين في حال كان قطرا متوازي الأضلاع متعامدين، أو اذا كان للبعدين (الطول والعرض) الطول ذاته.

2. المستطيل

يتم التحول من متوازي الأضلاع إلى المستطيل إذا تساوى طولا القطرين، أو إذا كانت واحدة من زواياه قائمة، الأمر الذي يؤدي إلى تحول الزوايا الأربع إلى زوايا قائمة، وذلك حسب خواص متوازي الأضلاع التي ذكرناها سابقاً.

المستطيل من متوازي الأضلاع

3. المربع

نحصل على المربع من متوازي الأضلاع في حال كان الشكل مستطيلاً ومعيناً، أي زواياه قائمة وأطوال أضلاعه الأربعة متساوية.

المربع من متوازي الأضلاع

متوازي الأضلاع في حياتنا

من الصعب عدم رؤية متوازي الأضلاع أو أحد حالاته الخاصة في حياتنا، فأزرار لوحة المفاتيح مربعة، الشاشات مستطيلة، ملعب كرة القدم مستطيل، أرضية المنزل إما مربعة أو مستطيلة.

البلاي ستيشن متوازية الأضلاع

أو غالباً تكون تداخلاً بين الشكلين، أيضاً الأبنية القديمة حيث قاعدة الأهرامات - على سبيل المثال - تأخذ شكل مربع، وغيرها الكثير.

بناء في هامبروغ على شكل متوازي أضلاع

ختاماً.. من الواضح أن متوازي الأضلاع من الأشكال المتواجدة بكثرة في حياتنا، فمن المهم دراستها بشكل جيد، فهي بسيطة للدراسة وممتعة للغاية.

التعليـــقات
جميع التعليقات تعبر عن وجهة نظر اصحابها وليس عن وجهة نظر